Bài toán Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số
Bài toán Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số
þTìm điểm cố định:
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ luôn đi qua.
Khi đó ${{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)$ biến đổi phương trình về dạng $m.\left[ g\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) \right]+h\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0$
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}g\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0\\h\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0\\\end{array} \right.\Rightarrow $ Tọa độ điểm M.
þTìm điểm có tọa độ nguyên:
Điểm $M\left( x;y \right)\in \left( C \right):y=f\left( x \right)$ có tọa độ nguyên nếu tọa độ điểm $M\left( x;y \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}y=f\left( x \right)\\x\in \mathbb{Z}\\y\in \mathbb{Z}\\\end{array} \right.$
Bài tập Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số có đáp án
Bài tập 1:Cho hàm số $\left( C \right):y={{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-m-1$. Tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị $\left( C \right)$ là
A.$\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;0 \right).$B.$\left( 1;0 \right)$ và $\left( 0;1 \right).$C.$\left( -2;1 \right)$ và $\left( -2;3 \right).$D.$\left( 2;1 \right)$ và $\left( 0;1 \right).$
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( {{x}_{0}};y{{ {} }_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định của $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{2}-1 \right)+x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x_{0}^{2}-1=0\\x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0\\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}_{0}}=\pm 1\\y_{0}^{2}=0\\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}_{0}}=-1;{{y}_{0}}=0\\{{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0\\\end{array} \right.$ Vậy tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị $\left( C \right)$ là $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;0 \right)$.Chọn A.
Bài tập 2:Gọi các điểm $M,N$ là các điểm cố định mà đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3mx-1\left( C \right)$ luôn đi qua. Tính độ dài $MN$.
A.$MN=1.$B.$MN=\sqrt{2}.$C.$MN=2.$D.$MN=4.$
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+3m{{x}_{0}}-1\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow 3m\left( x_{0}^{2}-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}+1-x_{0}^{3}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x_{0}^{2}-{{x}_{0}}=0\\{{y}_{0}}+1=x_{0}^{3}\\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0\\{{x}_{0}}=0;{{y}_{0}}=-1\\\end{array} \right.$
Vậy $M\left( 1;0 \right),N\left( 0;-1 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{2}$.Chọn B.
Bài tập 3:Cho hàm số $y=m{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2\left( C \right)$. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cố định của đồ thị hàm số đã cho là
A. $y=-2x+2.$B.$y=2x+2.$C. $y=-2x-2.$D.$y=-2x-1.$
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=mx_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+2\left( m-1 \right){{x}_{0}}+2\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}} \right)-2{{x}_{0}}+2-{{y}_{0}}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}=0\\{{y}_{0}}=-2{{x}_{0}}+2\\\end{array} \right.\left( * \right)$
Như vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình (*) và 3 điểm này đều thuộc đường thẳng $y=-2x+2$.Chọn A.
Bài tập 4:Biết rằng đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-m-1$ luôn đi qua hai điểm cố định A và B. Tính độ dài đoạn thẳng $AB.$
A. $AB=2\sqrt{2}.$B.$AB=2.$C. $AB=1.$D.$AB=4.$
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{2}-1 \right)+x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x_{0}^{2}-1=0\\x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0\\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}_{0}}=1,{{y}_{0}}=0\\{{x}_{0}}=-1,{{y}_{0}}=0\\\end{array} \right.$
Khi đó $A\left( 1;0 \right),B\left( -1;0 \right)\Rightarrow AB=2$.Chọn B.
Bài tập 5:Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right):y=\frac{2x-2}{x+1}$ mà tọa độ là số nguyên?
A. $2.$B.$4.$C. $5.$D.$6.$
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=\frac{2x-2}{x+1}=\frac{2\left( x+1 \right)-4}{x+1}=2-\frac{4}{x+1}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$\left( 4 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 4 \right\}$
Khi đó có 6 điểm có tọa độ nguyên thuộc $\left( C \right):y=\frac{2x-2}{x+1}$.Chọn D.
Bài tập 6:Gọi $M,N$ là hai điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}\left( C \right)$ sao cho tọa độ của chúng là những số nguyên. Tính độ dài $MN$
A. $MN=2\sqrt{2}.$B.$MN=\sqrt{2}.$C. $MN=2.$D.$MN=4.$
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=\frac{3x+2}{x+1}=\frac{3\left( x+1 \right)-1}{x+1}=3-\frac{1}{x+1}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$\left( 1 \right)=\left\{ \pm 1 \right\}\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}x+1=-1\\x+1=1\\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}x=-2\\x=0\\\end{array} \right.$
Khi đó có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc $\left( C \right):y=\frac{2x-2}{x+1}$ là $M\left( -2;4 \right),N\left( 0;2 \right)$
Khi đó $MN=2\sqrt{2}$.Chọn A.
Bài tập 7:Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right):y=\frac{{{x}^{2}}+5x+15}{x+3}$ mà tọa độ là số nguyên?
A. $6.$B.$7.$C. $5.$D.$8.$
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=\frac{{{x}^{2}}+5x+15}{x+3}=\frac{{{x}^{2}}+3x+2x+6+9}{x+3}=x+2+\frac{9}{x+3}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+3=$Ư$\left( 9 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3;\pm 9 \right\}\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}x=-4\\x=-6\\x=-2\\x=0\\x=-12\\x=6\\\end{array} \right.$
Từ đó suy ra có 6 điểm có tọa độ là số nguyên thuộc $\left( C \right)$.Chọn A.
Bài tập 8:Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3x+7}{2x-1}$ mà tọa độ là số nguyên?
A. $3.$B.$1.$C. $2.$D.$4.$
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=\frac{3x+7}{2x-1}\Rightarrow 2y=\frac{6x+14}{2x-1}=\frac{3\left( 2x-1 \right)+17}{2x-1}=3+\frac{17}{2x-1}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $2x-1=$Ư$\left( 17 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 17 \right\}$ Suy ra $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}2x-1=-17\\2x-1=-1\\2x-1=1\\2x-1=17\\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}x=-8\Rightarrow y=1\\x=0\Rightarrow y=-7\\x=1\Rightarrow y=10\\x=9\Rightarrow y=2\\\end{array} \right.\Rightarrow $ Có 4 điểm có tọa độ là số nguyên.Chọn D.
Luyện bài tập vận dụng tại đây!
Lý thuyết Toán Lớp 12
CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ
- A.1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
- A.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
- A.3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ
- A.4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
- A.5. NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
- A.6. BÀI TOÁN BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
- A.7. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
- A.8. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
- A.9. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ 2: LOGARIT
- B.1. CÔNG THỨC LŨY THỪA
- B.2. CÔNG THỨC LOGARITH
- B.3. HÀM SỐ LŨY THỪA MŨ VÀ LOGARITH
- B.4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
- B.5. PHƯƠNG TRÌNH LOGA
- B.6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
- B.7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH
- B.8. BÀI TOÁN VỀ LÃI SUẤT TĂNG TRƯỞNG
- B.9. BÀI TOÁN VỀ MIN-MAX LOGA
CHUYÊN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN
- C.1. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
- C.2. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
- C.3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM
- C.4. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM
- C.5. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
- C.6. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
- C.7. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN
- C.8. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN
- C.9. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN
- C.10. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ VÀ LƯỢNG GIÁC
- C.11. MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ NÂNG CAO
- C.12. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
- C.13. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
- C.14. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VÀ NÂNG CAO VỀ TÍCH PHÂN
- C.15. MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC
- D.1. CÁCH TÍNH TOÁN CƠ BẢN VỚI SỐ PHỨC
- D.2. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC
- D.3. QUỸ TÍCH PHỨC
- D.4. CỰC TRỊ SỐ PHỨC (NÂNG CAO)
CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
- E.1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
- E.2. QUAN HỆ SONG SONG
- E.3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
- E.4. VECTO TRONG KHÔNG GIAN
- E.5. BÀI TOÁN VỀ GÓC
- E.6. BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
- E.7. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
- E.8. TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
- E.9. MẶT CẦU HÌNH CẦU KHỐI CẦU
- E.10. MẶT TRỤ HÌNH TRỤ KHỐI TRỤ
- E.11. MẶT NÓN HÌNH NÓN KHỐI NÓN
- E.12. BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH KHÔNG GIAN
- E.13. BÀI TOÁN THỰC TẾ HÌNH KHÔNG GIAN
CHUYÊN ĐỀ 6: HÌNH HỌC TỌA ĐỘ
- F.1. TỌA ĐỘ ĐIỂM VECTOR
- F.2. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR
- F.3. PT MẶT PHẲNG ĐƯỜNG THẲNG MẶT CẦU
- F.4. BÀI TOÁN VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GÓC KHOẢNG CÁCH
- F.5. CÁC DẠNG VIẾT PT MẶT PHẲNG
- F.6. CÁC DẠNG VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG
- F.7. BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
- F.8. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
- F.9. BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN